4. cvičenie 9.3.2023

Riešenie sústavy lineárnych rovníc s tridiagonálnou maticou

• Príklad riešenia sústavy v Matlabe: ->skript<-
• Príklad na riešenie Poissonovej rovnice pomocou tridiagonálnej matice: ->pdf<-, ->riešenie matice 3x3 v Matlabe<-, ->riešenie pre všebecný počet riadkov n v Matlabe<-

Čiastočný problém vlastných čísel

Hľadáme najväčšie vlastné čislo v absolútnej hodnote matice \(\mathbf{A}\).

Naprogramujte v Matlabe riešenie úlohy nasledujúcim spôsobom:

1. V programe definujeme maticu $\mathbf{A}$:

   \[\begin{pmatrix} 2 & -12 \\ 1 & -5 \\ \end{pmatrix}\]

   ktorej max. vlastné číslo v absolútnej hodnote $\lambda$ budeme hľadať.

2. Odhadneme vlastný vektor $\overrightarrow{v}$ nejakým nenulovým vektorom.

3. V iteráciách (cykle) odhadujeme hodnotu $\lambda$ a $\overrightarrow{v}$ a pomocou vzorcov

   \[\lambda = ||\mathbf{A}\overrightarrow{v}||,\]
   \[\overrightarrow{v} =\frac{ \mathbf{A} \overrightarrow{v} }{||\mathbf{A}\overrightarrow{v}||}.\]

   Príkaz v Matlabe na normu: norm()

4. Po poslednej iterácii výsledné $\lambda$ vypíšeme.

5. Výsledok si môžete overiť pomocou príkazu eig(), ktorý vypíše všetky vlastné čísla danej matice.

Pomôcka: sign() určí znamienko premennej/vektoru: 1 je kladné, 0 je 0, a -1 je pre záporné čísla (viz. help sign).